Подробное руководство по греческим переменным в торговле опционами

Греки

Греки - дельта, гамма, тета, вега и ро - это пять переменных, которые помогают определить риски опционной позиции.

Риски, с которыми сталкиваются инвесторы при выборе опционов, не одномерны. Чтобы справиться с изменяющимися рыночными условиями, инвестор должен осознавать масштабы этих изменений. Чтобы увидеть, являются ли изменения большими или небольшими, создают ли они большой или незначительный риск, теория опционов и модели ценообразования опционов предоставляют инвесторам переменные, определяющие характеристики риска их опционной позиции. Эти переменные называют греками. Мы отслеживаем пять греков: дельта, гамма, тета, вега и ро.

Поскольку греки являются производными от формулы Блэка и Скоулза, мы начнем с объяснения этого вопроса.

Блэк и Скоулз

Формула Блэка и Шоулза, иногда известная как формула Блэка, Шоулза и Мертона, является стандартным рыночным инструментом для определения цен. Эта формула определяет цену опциона как функцию от текущей цены акции S ₀, времени до погашения опциона T, его страйка X, волатильности σ и процентной ставки r:

call = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) с

где N (x) - кумулятивная функция нормального распределения для стандартного нормального распределения, то есть вероятность того, что случайная величина ~ N (0,1) (со стандартным нормальным распределением) меньше x.

Прежде чем обсуждать формулу, давайте сформулируем основные предположения. Формула Блэка и Скоулза предполагает:

Возвраты являются IID (независимыми и одинаково распределенными) с нормальным распределением.
Волатильность в будущем известна и постоянна.
Будущая процентная ставка известна, постоянна и одинакова для займов и кредитов.
Путь к запасам непрерывен, и возможна непрерывная торговля.
Затраты по сделке равны нулю.

Для развития теории мы предполагаем, что все эти предположения выполнены. Эта формула является рыночным стандартом, потому что она чрезвычайно устойчива к нарушениям своих предположений.

Дельта

Первый греческий язык, о котором пойдет речь, - это дельта. По сути, дельта - это чувствительность теоретической стоимости опциона к изменению цены базового контракта. Проще говоря, дельта - это изменение стоимости опциона, когда базовая стоимость повышается на 1 доллар. Например:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) и Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

где N (d ₁) как в формуле BS.

Стоимость опциона колл увеличивается, когда цена акций растет, поэтому дельта опциона колл положительна. И наоборот, стоимость опциона пут уменьшается, когда цена акции растет, поэтому дельта опциона пут отрицательна.

Можно заметить, что N (x) - это функция плотности вероятности, поэтому она принимает значение в. Тогда дельта одного колла всегда равна, а дельта одного положенного. Поскольку базовый уровень обычно составляет 100 акций, дельта опциона умножается на 100. Например, опцион с дельтой 0,25 рассматривается как дельта 25. Чем выше дельта, тем более схожим будет изменение стоимости опциона. быть к базовой акции. Стоимость опциона с дельтой 100 будет двигаться точно с той же скоростью, что и базовая акция. Также обратите внимание, что операция производной является линейной, поэтому мы можем вычислить дельту каждого варианта и суммировать их, чтобы получить дельту всего портфеля (тогда, конечно, она может быть вне).

Когда опцион приближается к истечению срока, его дельта изменится, так как вероятность истечения при деньгах или без них изменяется, а нормальное распределение сужается и сосредотачивается вокруг среднего значения. По мере того, как опцион приближается к истечению срока, опционы при деньгах будут двигаться к дельте 100, а опционы без денег будут двигаться к дельте 0. С другой стороны, опционы при деньгах будут оставаться на уровне дельты. 50.

Когда базовая акция изменяется в цене, изменяется и дельта. Этого следовало ожидать, поскольку d ₁ является функцией цены акции.

Дельта вызова

Практическая интерпретация дельты - это коэффициент хеджирования: количество акций, которое должно быть куплено или продано, чтобы нейтрализовать направленный риск опциона. Из формулы BS мы можем увидеть другую интерпретацию. Грубо говоря, можно сказать, что дельта опциона - это вероятность его истечения в деньгах. (За пут возьмем абсолютное значение). Однако это приближение работает только для европейских вариантов.

Подводя итог, можно выделить три интерпретации дельты:

Изменение стоимости опциона при увеличении базового актива на 1 доллар.
Коэффициент хеджирования: количество акций, которые нужно купить или продать, чтобы нейтрализовать направленный риск позиции.
Вероятность того, что опцион будет прибыльным по истечении срока

→ OTM call: дельта стремится к 0 по мере приближения к истечению срока.

→ ITM звонки: с течением времени дельта стремится к 100.

Дельта пут против базовой цены

Дельта против волатильности

По мере увеличения (уменьшения) волатильности дельта опциона колл приближается (от) 0,50, а дельта опциона пут - к (от) -0,50. Таким образом, если волатильность увеличивается (уменьшается), дельта денежного опциона уменьшается (увеличивается). В случае варианта "без денег" все обстоит с точностью до наоборот.

Дельта против времени

По мере того, как время уменьшается, дельта колла отходит от 0,50, а дельта пут от -0,50. По прошествии времени дельта ставки «деньги» приближается к 1, а дельта «без денег» - к 0.

Гамма

Гамма - это производная дельты как функция цены акции. Поскольку дельта - это производная от стоимости опциона как функция базовой акции, гамма - это изменение дельты, когда цена акции увеличивается на 1 доллар. Написано это так:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

где d _1, как в формуле BS, и N 'первая производная гауссовой кумулятивной функции плотности, то есть обычная гауссова плотность:

Гамма по сравнению с ценой акций, гамма по сравнению со временем

Часто говорят, что гамма достигает максимального значения, когда есть опция ATM. В первом приближении это верно, однако реальный максимум достигается, когда цена акции чуть ниже цены исполнения. Этот эффект показан в левой части рисунка выше для акций, торгуемых по 100 долларов. Учитывая удар X, летучести а, а скорость г, и время истечения T, стоимость акций дают максимальные гамма S _{макс Γ} = Хе ^{- (г + 3σ ^ 2/2) Т}.

Гамма-кривая колл и пут идентичны. Это согласуется с тем, что мы говорили о коллах и путях в целом, а также о гамме в частности.

По мере того, как время до истечения срока уменьшается, гамма и тета опционов при деньгах увеличиваются. Незадолго до истечения срока эти переменные могут стать очень большими.

Гамма в зависимости от времени

Как показано на рисунке выше, график сужается, но общая поверхность под графиком остается неизменной. Как следствие, вершина графика намного выше. Более высокий верх символизирует увеличение гамма и тета по мере уменьшения времени до истечения срока действия.

Из-за поведения вызовов ITM, ATM и OTM, мы видим, что дельта-кривая будет круто расти вокруг страйка по мере приближения срока истечения. Следовательно, с течением времени гамма для варианта банкомата будет увеличиваться. Однако это не относится к опциям OTM и ITM.

Гамма - важный параметр риска, потому что он определяет, сколько денег мы можем получить или потерять по нашему дельта-нейтральному портфелю при изменении цены акций. В следующем примере мы оценим прибыль / убыток позиции опциона как следствие движения базового актива. Мы примем постоянную гамму 2,7, поэтому дельта изменяется на 2,7 на доллар движения базового актива.

Предположим, мы покупаем колл 80 1000 раз по цене 5,52 при цене акции 79 долларов. Чтобы быть дельта-нейтральными, мы должны продать 51 100 акций. Курс акций развивается следующим образом:



t =	Цена акций
0	79
1	84
2	76
3	79

При t = 1 и t = 2 я корректирую хеджирование, чтобы оно было дельта-нейтральным. В момент t = 3 я закрываю свою позицию.

Три способа вычисления изменения стоимости позиции

Вот три способа рассчитать изменение стоимости нашей позиции: первый - с использованием денежного потока, второй - с использованием дельты, а третий - с использованием гаммы.

1. Расчет прибыли с использованием денежного потока

Сначала мы смотрим на денежные потоки, как показано в таблице ниже. Во втором столбце показаны денежные потоки, связанные с вызовом, а в третьем - с моей позицией по акциям. Последняя строка суммирует все:

Так что в итоге мы получаем прибыль 132 300. Если у нас длинные опционы и, следовательно, у нас длинная гамма-позиция, нам нужно покупать акции, если цена акций снижается, и продавать акции, если цена акций увеличивается (покупать по низкой цене, продавать по высокой), поэтому мы всегда получаем прибыль, если акция движется. Убедитесь сами, что это справедливо как для коллов, так и для пут.

2. Расчет прибыли с использованием дельты

Теперь рассмотрим второй способ расчета прибыли. Сделки такие же, отличается только расчет прибыли. С помощью этого метода мы одновременно рассматриваем опцион и позицию по акциям. У нас есть запасы в качестве хеджирования для опциона, поэтому давайте просто рассмотрим общую дельта-позицию. Запускаем дельта-нейтраль. Затем движение акций, мы получаем дельты. (Мы вычисляем полученные нами дельты, используя разницу между двумя заданными дельтами для данных начального и конечного значений запасов. Чтобы получить среднюю дельту во время движения, мы берем это значение, разделенное на два). Портфель растет в стоимости в соответствии с его дельтами, как описано ниже.

В этом случае мы используем метод средней дельты. То есть мы:

Вычислите среднюю дельту-позицию во время движения акций.
Умножьте это на интервал, чтобы рассчитать прибыль.

В момент t мы хеджируем, поэтому покупаем / продаем акции, поэтому дельта снова становится нейтральной.

Давайте посмотрим на это более внимательно:

При t = 0, акции торгуются на 79, мы открываем дельта-нейтральную позицию, то есть у нас есть короткие позиции на 51 100 акций.
При t = 1 акция торгуется на 84. Дельта опционной позиции составляет 64,6 * 1000 (от опционов) -51100 (от акций). Между t = 0 и t = 1 моя дельта-позиция изменилась с 0 до 13 500. Моя средняя дельта движения была тогда (13 500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 за колл). Чтобы вычислить PnL моей позиции, я умножаю эти дельты на величину движения акций: 6570 * 5 = 33 750 долларов. Чтобы получить эту прибыль, мне нужно продавать акции, чтобы они снова были дельта-нейтральными.
При t = 2 акции торгуются на 76. Дельта моей опционной позиции составляет 43,0 * 1000, а дельта моей позиции по акциям составляет -64600…

Пример расчета прибыли с использованием гаммы.

3. Расчет прибыли с использованием гаммы

В приведенном выше примере мы вычислили среднее положение дельты, взяв среднее значение начальной и конечной дельты. Этого также можно добиться с помощью гаммы, поскольку гамма определяет изменение дельты на доллар.

Поясним, как:

При t = 0 фондовые торги 79, дельта-нейтральный, гамма - 2700.
При t = 1 акция торгуется на 84. Акция переместилась на 5, поэтому моя новая дельта-позиция составляет 5 * 2700. В начале движения моя дельта была 0, поэтому моя средняя дельта 5 * 2700/2. Акции переместились на 5, так что портфель вырос на 5 * средняя дельта = 5 * 5 * 2700/2. Портфель хеджируется, поэтому дельта снова равна 0. Мы называем это «гамма-скальпингом». Длинная гамма-позиция позволяет вам покупать дешево и продавать дорого.
При t = 2 акции торгуются на 76. Это движение на 8 долларов, моя новая дельта-позиция - 8 * 2700…

Если мы начнем с дельта-нейтрального портфеля, можно использовать следующую общую формулу:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2